在之前一篇博客 ECC(Elliptic Curves Cryptography) 椭圆曲线加密原理 简单地阐述了 ECC 加解密的原理。这本篇博客中接着来聊一聊如何使用 OPENSSL 来进行 ECC 加解密。
首先需要明确一点的是：ECC 本身并没有定义一套加解密的方法，它主要作用于密钥交换(ECDHE),与签名认证(ECDSA). 不过后来中国工程师设计定义了一套加密方法，并于近年得到了世界的认可，这就是中国商用(国家标准) SM2 椭圆曲线公钥密码算法 。
一. 基本概念
其实在 openssl 中，椭圆曲线分两种形式，一种是之前讲到的质数域上的椭圆曲线 ，将其称为 $F_p$ 其方程为：
$$y^2 \ \mod \ p = x^3 + ax + b \ \mod \ p$$
另一种是二进制域,称为 $F_{2^m}$, 其方程为：
$$y^2 + xy = x^3 + ax^2 + b ,\ (b != 0)$$
在这里只讨论 $F_p$ 相关的内容。
椭圆曲线上的点
椭圆曲线上的点使用 EC_POINT 来表示， 它定义在 ec_locl.h :
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struct ec_point_st { // ... BIGNUM *X; BIGNUM *Y; BIGNUM *Z; // ... }; |
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在我之前的博客中聊到了 DH 密钥交换的原理 . 这里来讨论如何使用 OPENSSL 进行 DH 密钥交换。
一 原理验证
OPENSSL 提供了一系列API, 可以在方便地进行大数计算。在这里我们先对 DH 密钥交换的原理 中讲到的原理进行代码级别的验证。对原理不感兴趣的可以跳过这一小节。
由于在 DH 密钥交换过程中，大部分的操作过程都是一样的，可以定义一个基类来抽象：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 |
class DHBase { public: DHBase() : m_pri_key(NULL) {} virtual ~DHBase() { if (m_pri_key) BN_free(m_pri_key); }; const BIGNUM *GetSharedNum() { if (!m_pri_key) GenRandomData(); BN_CTX *ctx = BN_CTX_new(); const BIGNUM *g = DH_get0_g(m_dh); const BIGNUM *p = DH_get0_p(m_dh); BIGNUM *r = BN_new(); // r = g ^ m_pri_key % p int rst = BN_mod_exp(r, g, m_pri_key, p, ctx); assert(rst == 1); BN_CTX_free(ctx); return r; } BIGNUM *GenKey(const BIGNUM *shared_num) { if (!m_pri_key) GenRandomData(); BIGNUM *key = BN_new(); BN_CTX *ctx = BN_CTX_new(); // key = shared_num ^ m_pri_key % p int rst = BN_mod_exp(key, shared_num, m_pri_key, DH_get0_p(m_dh), ctx); assert(rst == 1); BN_CTX_free(ctx); std::cout << m_name << ": received shared num: " << GetNumString(shared_num) << std::endl; std::cout << m_name << ": generated KEY: " << GetNumString(key) << std::endl; return key; } std::string GetName() { return m_name; } static std::string GetNumString(const BIGNUM *num) { return BN_bn2hex(num); } private: void GenRandomData() { assert(m_dh); m_pri_key = BN_new(); int rst = BN_rand_range(m_pri_key, DH_get0_p(m_dh)); assert(rst == 1); while (BN_is_zero(m_pri_key)) { BN_rand_range(m_pri_key, DH_get0_p(m_dh)); } std::cout << m_name << ": generated the private num" << std::endl; } protected: DH *m_dh; std::string m_name; private: BIGNUM *m_pri_key; }; |
m_pri_key 是双方生成的私密随机数。GetSharedNum() 返回双方交换的中间变量 G^A mod PGenKey() 即完成了密钥交换，返回交换成功后的密钥。
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在我之前的一篇博客中 RSA 公钥加密原理 中, 对 RSA 非对称加密原理做了简单的阐述。这篇博客主要聊如何使用 OPENSSL 进行密钥对的生成，以及非对称加解密。
一. 生成密钥对
在 OPENSSL 中， RSA 是一个很重要的结构体。它的定义在 rsa_locl.h 中，面包含了在原理中提到的所有重要的变量 随机质数 p, q, 公钥指数 e， 私钥指数 d, 以及模数 n
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struct rsa_st { // ... BIGNUM *n; BIGNUM *e; BIGNUM *d; BIGNUM *p; BIGNUM *q; // ... }; |
生成密钥函数：
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int RSA_generate_key_ex(RSA *rsa, int bits, BIGNUM *e, BN_GENCB *cb); |
bits 密钥的规模(modulus)。小于 1028 位的密钥是不安全的，小于 512 则会返回 0e 公开的指数。它应该是一个奇数(odd number), 一般是 3, 17 或 65537cb 生成大随机数的回调函数。一般使用 NULL 即可, 默认为 BN_GENCB_call()
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在我之前的一篇博客里介绍了 对称加密的模式 . 
这里主要聊一聊如何使用 openssl 来进行 AES 加密 .
一. OPENSSL crypto API
openssl 加密 API 分两个部分: High Level and Low Level . 对于大部分人来说，使用 High Level 就够用了， 这些 API 被冠以 EVP (Envelope) ，表示对 Low Level 的封装。High Level API 提供了包括 对称/非对称加解密 ， 签名, 验证, 哈希，MAC 等一系列组件，屏蔽了 Low Level API 的复杂逻辑，使用起来安全高效。对于除非有需要进行加密算法级别的改进，否则不建议使用 Low Level API.
大部分 EVP API 有一个 int 型返回值 ，用来表示操作是否成功：1 表示成功， 0 表示失败。但有些时候也会返回 -1 ，表达如内存分配或者其他什么错误。官方指导代码如下:
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if(1 != EVP_xxx()) goto err; if(1 != EVP_yyy()) goto err; /* ... do some stuff ... */ err: ERR_print_errors_fp(stderr); |
二. 使用 EVP API 进行 AES 加解密
对于 AES 加解密，EVP API 分为两种，EVP_Encrypt / EVP_Decryp 系列 和 EVP_Cipher 系列。后者是对前者进一步的封装。它们具体使用的套路都是一样的：
- 创建加解密上下文
EVP_CIPHER_CTX
- 调用
xxxInit() 函数，使用 key(密钥)、iv(前置向量) 和 cipher(算法) 对上下文初始化
- 调用
xxxUpdate() 函数进行加解密。该函数支持流式操作。即对于一段明文来说，分成多组按顺序进行加密，和一次性全部加密，不影响其生成的密文的正确性。
- 调用
xxxFinal() 函数获取上下文中遗留的信息
- 释放上下文， 完成加解密。
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和对称加密不同，公钥加密(非对称加密)的密钥分为加密密钥(公钥)和解密密钥(私钥)。 公钥是公开的，任何人都有可能知道公钥，并用公钥生成密文，而私钥是保密的，只有解密者才能知道私钥，用它来解密密文获得明文。在这里对使用最广泛的公钥密码算法-- RSA.
RSA 是发明此算法的三位科学家的姓氏的首字母(吐槽一下：外国人的命名真随意)
一. RSA 加密
在RSA中，明文，密钥和密文都是数字， RSA的加密过程可以用如下公式表达：
$$密文 = 明文^E \mod N$$
即： RSA 的密文是明文的 $E$ 次方求模 $N$ 的结果, 或者说，密文是明文的 $E$ 次方除以 $N$ 的余数。这就是整个加密过程，它非常简洁。因此，如果知道了 $E$ 和 $N$ ，那么任何人都可以进行加密运算，也就是说，
$$ E 和 N 是公钥$$
在实际使用中， E 和 N 是经精心计算的数字。
二. RSA 解密
RSA 解密公式如下：
$$ 明文= 密文^D \mod N$$
即，对密文的 $D$ 次方求模 $N$ 运算，就可以得到明文。这里是
$$D 和 N 是私钥 $$
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在使用对称加密中，有一些无法避免的问题：
- 密钥如何从加密方传递给解密方。窃听者如果可以劫获密文，那么也可能劫获密钥。
- 如果窃听者破解了密钥，加密方如何将新的密钥安全地交给解密方
1. DH 密钥交换
解决上述问题的一种方法就是 DH 密钥交换 技术 。
DH 密钥交换全称为 Diffie-Hellman 密钥交换 ,是1976年由 Whitfiedl Diffle 和 Martin Hellman 共同发明的一种算法。使用这种方法，通信双方可以在窃听者眼皮子底下来安全地传输密码。
DH 交换的步骤如下：
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超文本传输安全协议 (HTTPS, Hypertext Transfer Protocol Secure) 常称为HTTP over TLS，HTTP over SSL或HTTP Secure, 是一种使用计算器网络进行安全通信的传输协议。HTTPS经由HTTP进行通信，但利用SSL/TLS来加密数据包。HTTPS开发的主要目的，是提供对网站服务器的身份认证，保护交换数据的隐私与完整性。这个协议由网景公司（Netscape）在1994年首次提出，随后扩展到互联网上。
传输层安全性协议 (TLS, Transport Layer Security) ，及其前身 安全套接层(SSL,Secure Sockets Layer)是一种安全协议，目的是为互联网通信，提供安全及数据完整性保障。网景公司推出HTTPS协议时，以SSL进行加密，这是SSL的起源。IETF将SSL进行标准化，1999年公布第一版TLS标准文件。随后又公布RFC 5246 （2008年8月）与 RFC 6176 （2011年3月）。TLS/SSL 不仅为浏览器提供支持，在邮箱、即时通信、VoIP、网络传真等应用程序中也得到广泛应用。
由此可知，HTTPS 是在 SSL/TLS 之上承载 HTTP 。与HTTP 不同，HTTPS 使用 https:// 做为URL前缀， 默认端口为 443.
为方便，后面将 SSL/TLS 简写为 TLS.
协议的层次
TLS 协议为由 TLS记录协议(TLS record protocol) 与 TLS握手协议(TLS handshake protocol) 这两层协议叠加而成。记录协议负责进行加密，握手协议负责进行加密之外的其它操作。
- TLS记录协议 位于握手协议的下层，负责对消息进行加密。它使用了对称加密和消息认证，但具体的算法和共享密钥则是通过握手协议在服务端和客户端之间协商决定的。
- TLS握手协议 分为4个子协议
- 握手协议 负责在客户端与服务端之间协商决定密码算法和共享密钥。基于证书的认证操作也是在这个协议中完成。在握手协商一致后，双方会互发信号来切换密码。
- 密码规格变更协议 负责向通信对象传达密码变更的信号。
- 警告协议 负责在发生错误时将错误信息传递给对方。如果没有发生错误，接下来会使用应用数据协议进行通信。
- 应用数据协议 负责将TLS 上面承载的应用数据传达给通信对象
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ECC(Elliptic Curves Cryptography) 属于非对称加密算法的一个重要组成部分。
本文尽量简单地阐述椭圆曲线加密的原理，但需要读者有一些初级的数论与离散数学相关的知识，或者推荐简单地阅读《算法导论》第31章:数论算法。
椭圆曲线
首先需要明确的是，我们讨论的是什么样的曲线。
椭圆曲线有比较复杂的定义: https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve .而我们讨论的椭圆曲线比这个简单，它是以下方程所描述的一条平滑曲线 :
$$y^2 = x^3 + ax + b, 4a^3 + 27b^2 \neq 0$$
它描述的并不是一个椭圆，之所以称它为"椭圆曲线方程"， 是因为它源自于求椭圆弧长的椭圆积分的反函数。椭圆曲线是无奇点的，即没有尖点，且不会自相交。当 $a,b$ 的值不同时，椭圆曲线会表现出不同的形态:
而当 $4a^3 + 27b^2 = 0$ 时， 它不是椭圆曲线：
从图中可以看到，椭圆曲线总是 沿 x 轴对称 的。这是因为 $y^2$ 的存在。特殊地，我们规定 无穷远点 也存在于椭圆曲线上。我们用 $0$ 或符号 $O$ 来表示无穷远点，则椭圆曲线在实数域上的定义如下：
$$\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | y^2 = x^3 + ax + b, 4a^3 + 27b^2 \neq 0 \} \cup \{0\}$$
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